Архив

Горшков Вячеслав Алексеевич — доктор технических наук, профессор филиала РГСУ в г. Руза

Аннотация

Средняя продолжительность предстоящей жизни (СППЖ) является важнейшим показателем общественного здоровья. По данному показателю Россия в рейтингах занимает далеко не престижные места. Однако, в литературе и интернете отсутствуют классические вероятностные характеристики продолжительности жизни, такие как функция распределения (интегральная) и функция плотности распределения (дифференциальная). 

Рассматривается метод оценки распределения продолжительности жизни в России на основе сопоставления смежных возрастных диаграмм. Приводится результаты анализа динамики характеристик распределения продолжительности жизни с 1991 по 2010 г. представленных на сайте Федеральной службы государственной статистики (Росстата). 

Приводятся формулы и ссылки на исходные данные расчетов методики всех расчетов, позволяющие провести численную проверку полученных в работе результатов.

1. Введение

На сайте Росстата — http://www.gks.ru — в качестве основной характеристики продолжительности жизни приводится ее среднее значение. При этом само распределение не приводится. Не приводятся также другие моменты распределения (дисперсии, коэффициент асимметрии, эксцесс), что существенно осложняет прогноз численности населения в различных возрастных группах.

См. В. А. Горшков. Особенности демографической ситуации в России —
http://www.demographia.ru/articles_N/index.html?idR=20&idArt=1931

При этом приводимое среднее значение продолжительности жизни, смещающее страну в соответствующих рейтингах на весьма низкое место — http://ostranah.ru/_lists/life_expectancy.php, вызывает сомнение в адекватности такого расчета. 

Международная практика расчета СППЖ (средней продолжительности предстоящей жизни; дожития) основана на анализе таблиц смертности. Однако в отечественных учебниках данная методика изложена с большим количеством неточностей и опечаток. Ни в интернете, ни в литературе доказательного расчета средней продолжительности жизни автором данной работы не найдено. 

Адекватную картину дают классические функция плотности распределения (дифференциальная) и функция распределения (интегральная).

2. Метод

Распределение продолжительности жизни может быть оценено по распределению возраста ухода из жизни. Однако, такой статистики для России в открытой печати и интернете не найдено. В связи с этим, в данной работе оно восстанавливалось по смежным возрастным диаграмм (ВД), размещенным на сайте Росстата. 

Возрастная диаграмма позволяет определить численность населения в различных возрастных группах и средний возраст населения России по формуле:

где t — возраст, N_t — число жителей возраста.

Так, средний возраст жителей России в 1990 составлял 34,9 года, а в 1991 — 35,0.

Возрастная диаграмма позволяет также с помощью сверточного алгоритма прогнозировать численность населения в различных возрастных группах.

См. Горшков В. А. Прогноз демографического эха. Демографические исследования. № 11, 2010 —
http://www.demographia.ru/articles_N/index.html?idR=22&idArt=1862]

Две смежные диаграммы (рис. 1) позволяю получить распределение продолжительности жизни.

Рисунок 1.
Возрастные диаграммы.

Если, например, на ВД 1990 г. число жителей России в возрасте 40 лет представлено 2 362 918 жителей, а на ВД 1991года число жителей России в возрасте 41 год представлено 2 357 341, то число жителей, равное разнице (2 362 918 — 2 357 341 = 5 577), представляет суммарное число умерших, эмигрантов и иммигрантов (со знаком минус). 

Характерно, что если сравнить число двухлетних детей 1990 г. (2 454 150) с числом трехлетних 1991 г. (2 456 950), то их число даже увеличилось — на 2 800. Откуда эта прибавка? Кроме как доминирующим влиянием иммиграции над эмиграцией и смертностью в этой возрастной группе объяснить этот феномен нельзя. 

Для более адекватной оценки распределения продолжительности жизни необходим учет распределений эмигрантом и иммигрантов по возрасту. 

Так, включение в рассмотрение эмигрантов приводит к уменьшению оценки средней продолжительности жизни, иммигрантов — к увеличению. Однако в силу не соизмеримости смертности после 40–50 лет с миграционными процессами их не учет не приводит к существенным ошибкам.

Здесь необходимо сделать несколько допущений: 

1. Поскольку последняя возрастная группа в возрастной диаграмме представляет число жителей, достигших 100 и более лет, будем полагать, что максимальный возраст составляет 100 лет. Т. е. доля ушедших возрасте 100 лет будет равна 1. Это допущение незначительно и приведет к пренебрежимо малому снижению средней продолжительности жизни.
2. Чтобы исключить отрицательные значения вероятностей в распределении возраста убытия (из-за иммиграционных процессов), отрицательные значения убытий будут обнуляться, что приведет к незначительному завышению оценки средней продолжительности жизни.
3. Поскольку возрастные диаграммы строятся на конец года (1 января), они не позволяют учитывать смертность в возрасте до одного года.

Число убывших в возрасте t в год τ определяется из смежных возрастных диаграмм по формуле:

где  — число жителей по ВД в год τ в возрасте t

 — число жителей по ВД в год τ–1 в возрасте t–1

На рис. 2 представлено распределение возраста убытия в 1991 г. 

Рисунок 2.
Распределение возраста убытия.

Обращает на себя внимание ушедшие из жизни молодые люди в возрасте 19–22 года (более 30 тыс.человек). Автор не располагает объективными данными, позволяющими адекватно объяснить причину этого факта. 

Локальные минимумы и максимумы в 60-х и 70-х годах связаны не с какими-то особенностями медицинского характера, а с неравномерным распределением численности людей различных возрастных групп (рис. 1).

Данная диаграмма позволяет вычислить средний возраст убытия как

Так, средний возраст убытия в 1991 г. составлял 68,8 лет

Однако данная величина не является средней продолжительностью жизни, поскольку зависит от распределения жителей по возрасту, т. е. от ВД. Она также не учитывает численность живых долгожителей, которая также влияет на величину средней продолжительности жизни.

Если отнести число убывших людей к общей численности соответствующей возрастной группы (из возрастной диаграммы), получим распределение доли убытия в соответствующей возрастной группе.

Это доля является ни чем иным как условной вероятностью убытия в возрасте t при условии дожития до него — P(t/t–1), т. е. неухода в предыдущие возрастные группы 1, 2, … t–1 (рис. 3).

Рисунок 3. 
Зависимость вероятности ухода от возраста.

Как видно, с увеличением возраста, начиная с 50 лет, вероятность убытия монотонно возрастает, что вполне объяснимо и логично. Колебания распределения в области старших возрастов обусловлены низкой статистикой долгожителей.

Для получения распределения продолжительности жизни необходимо вычислить вероятность ухода в данном возрасте, которая будет равна произведению вероятности дожития до данной возрастной группы P_l (t–1), т. е. вероятность неухода в предыдущие возрастные группы 1, 2, … t–1 на условную вероятность ухода в текущей возрастной группе t P(t/t–1)—

Поскольку данный метод не учитывает смертность в возрасте до одного года, вероятность ухода в 1-й год (t =1) определяется как

,

вероятность дожития до возрастной группы t, т.е неухода в предыдущие возрастные группы 1, 2, … t–1, равна произведению вероятностей неухода в каждой из предыдущих возрастных групп

На рис. 4 представлена зависимость вероятности дожития до возраста t.

Рисунок 4.
Зависимость вероятности дожития.

Окончательно получаем:

Значение вероятности ухода в столетнем возрасте при условии дожития до него принимается равной единице

Рисунок 5.
Вероятность ухода в возрасте t.

Рис. 5 представляет зависимость вероятности ухода в возрасте t, которая численно (поскольку интервал разбиения равен одному году) равна выборочной функции плотности распределения возраста ухода (с размерностью [1/год]). 

Весьма драматично выглядит интервал в возрасте 19–21 год, который наглядно представляет увеличение доли убытия молодых людей в этом возрасте в начале 90-х годов. 

Учитывая то, что интервал квантования составляет 1 год, функция распределения продолжительности жизни (рис. 6) численно определяется как

Рисунок 6.
Функция распределения продолжительности жизни.

Не трудно убедиться, что сумма всех вероятностей на всем интервале возрастов равна единице:

Средняя продолжительность жизни определяется как

В 1991 году средняя продолжительность жизни составляла 72 года. Это значение существенно выше общепринятого. Обнуление отрицательной убыли населения за счет иммиграции приводит к снижению оценки средней продолжительности не более, чем на 1–2 года. 

На рис. 7 представлена функция плотности распределения, в которой отрицательные значения убыли населения заменены смертностью равной смертности в 33-летней возрастной группой (что, конечно, явно завышено и неадекватно реальности). Как видно, такая замена привела к снижению средней продолжительности жизни всего на 1,8 года.

Рисунок 7.
Вероятность ухода в возрасте t
при искусственном завышении смертности в возрастной группе 1–25 лет

Автор не встретил в литературе и интернете детального расчета средней продолжительности жизни в России на основе таблиц смертности. В этой связи он не может объяснить отличия рассчитанного значения средней продолжительности жизни в данной работе от приводимых в литературе и на сайте Росстата. 

В табл. 1 представлены исходные данные (возрастные диаграммы) и промежуточные результаты вычислений, позволяющие проверить адекватность проведенного анализа для 1991 года.

Таблица 1.

3. Результаты

На рис. 8 представлены две возрастные диаграммы России. Такой «изрезанной» диаграммы, что обусловлено социальными катаклизма (войны, голод) и их демографическими эхо, нет ни в одной стране.

Рисунок 8.
Возрастные диаграммы для 1991 и 2010 года. 

Не одно поколение будет сталкиваться с демографическими проблемами, порожденными в прошлом веке. В какие-то периоды у нас будет не хватать школ, вузов, рабочих мест, а в какие-то периоды — учеников, студентов, рабочих.

На прогнозируемой половозрастной диаграмме Росстата (рис. 9) на 2031 г. видны провалы, обусловленные Великой Отечественной Войной (в области 90-летних), первым ее эхом (в области 65-летних), демографическим обвалом 90-х (период 40–30 лет), эхом 90-х (период 20–25 лет).

Рисунок 9.
Прогнозируемые Росстатом половозрастные диаграммы на 2031 год.

В принципе, по представленным смежным прогнозируемым возрастным диаграммам можно было бы и спрогнозировать и распределение продолжительности жизни. Однако, приведенный метод, основанный на разности смежных возрастных диаграмм, очень чувствителен к ошибкам их построения. 

Рис. 10 представляет динамику изменения возрастных диаграмм. Как видно, даже на 5-летнем интервале они весьма близки. На смежных интервалах в возрастных группах до 50 лет они отличаются на доли и единицы процентов. Такую точность прогноза половозрастных диаграмм обеспечить весьма проблематично.

Рисунок 10. 
Возрастные диаграммы.

В связи с этим, оценку распределении продолжительности жизни следует проводить по фактическим возрастным диаграммам.

Рисунок 11. 
Зависимости вероятности ухода от возраста.

На рис. 11 представлены зависимости вероятности ухода от возраста для 1991, 2000, 2010-го годов, полученные на основе разностного метода по смежным возрастным диаграммам. Как видно, кривая для 2010 г. ниже других, что свидетельствует о повышении продолжительности жизни. 

На рис. 12 представлены функции плотности распределения продолжительность жизни и её средние значения для этих же годов, доказывающие факт, увеличения средней продолжительности жизни.

Рисунок 12. 
Функции плотности распределения продолжительности жизни

Как видно, данная функция плотности распределения продолжительности жизни трансформировалась из двухмодальной в 1991 году в логически объяснимую колоколообразную ассиметричную функцию в 2010 г.

Практически на всем 20-летнем интервале происходило увеличение среднего возраста населения России (рис. 13).

Рисунок 13. 
Изменение среднего возраста населения.

Рисунок 14. 
Средний возраст ухода.

Средний возраст ухода (рис. 14) коррелирован со средней продолжительностью жизни, но не эквивалентен ей, поскольку определяется распределением жителей по возрасту, т. е. возрастной диаграммой

Рис. 15 представляет изменение средней продолжительности жизни, рассчитанная по изложенной методике, а также данные Росстата, ООН (http://www.unescap.org/stat/data/syb2008/syb2008_web/index.asp) и ЦРУ США [https://www.cia.gov/]. 

Рисунок 15. 
Изменение средней продолжительности предстоящей жизни.

4. Обсуждение

Падение средней продолжительности жизни после 1999 г. является следствием 90-х годов. Естественное запаздывание вполне объяснимо.

Однако полученные графики изменения средней продолжительности жизни в России существенно отличаются от данных Росстата, ООН и ЦРУ США. Удивляет результат расчета Росстата на 1994 г., который существенно ниже зарубежных данных. 

Чем отличается методика расчета Росстата и ООН? Нет ли в зарубежных оценках тенденции намеренно занизить оценку средней продолжительности жизни в России?

По сути, если строго, то полученные распределения и динамика средней продолжительности справедливы лишь для лиц, доживших до 30 лет.

Если для начала 90-х годов неучет смертности в возрастной группе 1–30 лет вызывает максимум снижения оценки продолжительности жизни не более как на 1–1,5 года, то для периода 2005–2010 это снижение никак не может быть более чем на 1 год. А расхождение между данными ООН и ЦРУ составляет около 6 лет, расхождение с Росстатом — около 3-х лет.

К сожалению, автор не встретил детального расчета продолжительности жизни. В этой связи автор будет весьма признателен за все замечания к представленной методике расчета.

5. Выводы

Приводимые в многочисленных материалах данные по средней продолжительности жизни в России представляются весьма заниженными. 

В разделе «Методология» на сайте Росстата следовало бы привести подробную, прозрачную методику расчета средней продолжительности жизни. Это позволило бы устранить различного рода спекуляции по данному вопросу, а также было бы полезным для студентов, специализирующихся в области демографии.